William Rowan Hamilton định nghĩa Hamilton như một hàm ba biến:

H = H ( p , q , t ) = ⟨ p , q ˙ ⟩ − L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(p,q,t)=\langle p,{\dot {q}}\rangle -L(q,{\dot {q}},t)}

trong đó  q ˙ {\displaystyle {\dot {q}}} được định nghĩa ngầm bởi

p = ∂ L ∂ q ˙ {\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}

Hamilton sau đó đã xây dựng hệ phương trình của mình như sau

d d t p ( t ) = − ∂ ∂ q H {\displaystyle {\frac {d}{dt}}p(t)=-{\frac {\partial }{\partial q}}{\mathcal {H}}} d d t q ( t ) =     ∂ ∂ p H {\displaystyle {\frac {d}{dt}}q(t)=~~{\frac {\partial }{\partial p}}{\mathcal {H}}}

Tương tự như các Hamilton của lý thuyết điều khiển (như thường được định nghĩa) là một hàm gồm 4 biến

H ( q , u , p , t ) = ⟨ p , q ˙ ⟩ − L ( q , u , t ) {\displaystyle H(q,u,p,t)=\langle p,{\dot {q}}\rangle -L(q,u,t)}

và các điều kiện liên quan cho một cực đại hóa là

d p d t = − ∂ H ∂ q {\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}} d q d t =     ∂ H ∂ p {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=~~{\frac {\partial H}{\partial p}}} ∂ H ∂ u = 0 {\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial u}}=0}

Định nghĩa này đồng ý với quan điểm đưa ra bởi bài viết của Sussmann và Willems.[3] (Xem trang 39, phương trình 14). Sussmann-Willems cho thấy làm thế nào Hamilton điều khiển có thể được sử dụng trong các động lực học, ví dụ cho bài toán đường đoản thời, nhưng không đề cập đến các công trình trước đó của Carathéodory về cách tiếp cận này.[4]